Tablice trygonometryczne – tabela wartości sin, cos, tg, ctg

Czym są tablice trygonometryczne i do czego służą?

Tablica trygonometryczna przypisuje mierze kąta cztery liczby: sin α, cos α, tg α i ctg α. Dzięki niej zamieniasz kąt na stosunek długości boków trójkąta, a stosunek boków z powrotem na kąt.

W praktyce szkolnej spotkasz dwa rodzaje tablic:

• tabelę wartości dokładnych dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, zapisanych za pomocą ułamków i pierwiastków,
• tabelę wartości przybliżonych dla kątów co 1°, zaokrąglonych do czterech miejsc po przecinku.

Tablice przydają się wszędzie tam, gdzie nie wolno użyć kalkulatora naukowego albo gdzie liczy się wynik dokładny. Korzystasz z nich przy rozwiązywaniu trójkątów prostokątnych, w zadaniach z planimetrii i stereometrii, a także w fizyce, na przykład przy rozkładaniu sił na równi pochyłej.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens – krótkie przypomnienie definicji

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego definiujemy w trójkącie prostokątnym. Oznaczmy: a – przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α, b – przyprostokątna przy kącie α, c – przeciwprostokątna.

Z tych definicji wynikają trzy zależności, które pozwalają odtworzyć całą tabelę z jednej kolumny:

• tg α = sin α / cos α,
• ctg α = cos α / sin α = 1 / tg α,
• sin² α + cos² α = 1, czyli jedynka trygonometryczna.

Wartość funkcji zależy wyłącznie od kąta, a nie od wielkości trójkąta. Właśnie dlatego da się je raz obliczyć i zebrać w tablicach.

Tabela wartości sin, cos, tg i ctg dla kątów podstawowych

Pięć kątów pojawia się w zadaniach najczęściej: 0°, 30°, 45°, 60° i 90°. Ich wartości podajemy w postaci dokładnej, bez zaokrągleń.

Tangens 90° i cotangens 0° nie istnieją, ponieważ wymagałyby dzielenia przez zero.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów od 0° do 360°

Dla kątów większych niż 90° wartości powtarzają się, zmienia się tylko znak. Tabela podaje też miarę łukową każdego kąta.

Kreska oznacza, że funkcja nie jest określona dla danego kąta.

Tablice trygonometryczne 0°–90° – pełna tabela wartości przybliżonych

Poniższa tablica podaje sin, cos, tg i ctg dla każdego kąta od 0° do 90° co 1°, z dokładnością do czterech miejsc po przecinku. To ten sam poziom dokładności, który stosuje się w szkolnych tablicach matematycznych.

Zwróć uwagę na symetrię tabeli: sin α = cos (90° − α) oraz tg α = ctg (90° − α). Na przykład sin 20° i cos 70° mają tę samą wartość 0,3420. Dlatego w części tablic sinus i cosinus dzielą jedną kolumnę, a kąty zapisano po obu jej stronach.

Jak czytać tablice trygonometryczne?

Z tablic korzysta się w dwóch kierunkach: od kąta do wartości oraz od wartości do kąta. Oba sposoby warto przećwiczyć, bo w zadaniach występują równie często.

Od kąta do wartości funkcji

1. Znajdź wiersz z miarą kąta.
2. Przejdź do kolumny właściwej funkcji.
3. Odczytaj liczbę i dopiero na końcu obliczeń zaokrąglij wynik.

Przykład: szukasz sin 37°. W wierszu 37° i kolumnie sin α znajdujesz 0,6018.

Od wartości funkcji do kąta

1. Wybierz kolumnę funkcji, której wartość znasz.
2. Znajdź w niej dwie sąsiednie liczby, między którymi leży Twoja wartość.
3. Wybierz kąt odpowiadający liczbie położonej bliżej.

Przykład: cos α = 0,42. W kolumnie cos α najbliżej są 0,4226 dla 65° i 0,4067 dla 66°. Różnica wynosi odpowiednio 0,0026 i 0,0133, więc α ≈ 65°.

Pamiętaj o kierunku zmian. Sinus i tangens rosną wraz z kątem ostrym, a cosinus i cotangens maleją. Jeśli wynik odczytu przeczy tej regule, najpewniej pomyliły Ci się kolumny.

Kąty większe niż 90° – znaki w ćwiartkach i wzory redukcyjne

Tablice kończą się na 90°, bo każdy większy kąt da się sprowadzić do kąta ostrego. Potrzebujesz dwóch informacji: znaku funkcji w danej ćwiartce układu współrzędnych i odpowiedniego wzoru redukcyjnego.

Najczęściej używane wzory redukcyjne:

Przykłady z użyciem tablic:

• sin 160° = sin (180° − 20°) = sin 20° ≈ 0,3420,
• cos 140° = cos (180° − 40°) = −cos 40° ≈ −0,7660,
• tg 115° = tg (180° − 65°) = −tg 65° ≈ −2,1445.

Na poziomie podstawowym w liceum wystarczą kąty od 0° do 180°, czyli wiersz 180° − α. Pozostałe wzory przydają się na poziomie rozszerzonym i na studiach.

Stopnie a radiany w tablicach trygonometrycznych

Kąt można podać w stopniach albo w radianach, a wartość funkcji pozostaje ta sama. Kąt pełny to 360°, czyli 2π radianów, więc 180° odpowiada π.

• Ze stopni na radiany: pomnóż miarę kąta przez π/180. Przykład: 72° = 72 · π/180 = 2π/5.
• Z radianów na stopnie: pomnóż miarę kąta przez 180/π. Przykład: π/5 = 180°/5 = 36°.
• Jeden radian to około 57,3°.

Zanim wpiszesz kąt do kalkulatora naukowego, sprawdź tryb pracy. W trybie RAD kalkulator potraktuje liczbę 30 jako 30 radianów i zamiast sin 30° = 0,5 pokaże około −0,988.

Jak zapamiętać wartości funkcji trygonometrycznych?

Wystarczy zapamiętać jeden wiersz tabeli, a pozostałe trzy wyprowadzić. Sprawdzają się trzy sposoby.

Metoda pierwiastków. Wartości sinusa dla 0°, 30°, 45°, 60° i 90° to kolejno √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 i √4/2. Po uproszczeniu dostajesz 0, 1/2, √2/2, √3/2 i 1. Cosinus to ten sam ciąg zapisany od końca.

Dwa trójkąty. Połowa kwadratu o boku 1 daje trójkąt 45°–45°–90° o bokach 1, 1 i √2. Połowa trójkąta równobocznego o boku 2 daje trójkąt 30°–60°–90° o bokach 1, √3 i 2. Z tych dwóch rysunków odczytasz każdą wartość dokładną wprost z definicji.

Tangens z dzielenia. Tangensa i cotangensa nie trzeba uczyć się osobno. Wystarczy podzielić sinus przez cosinus, a cotangens to odwrotność tangensa.

Sama pamięć to jednak za mało. Wartości utrwalają się dopiero wtedy, gdy wracasz do nich w zadaniach rozłożonych w czasie. Na tej zasadzie działa platforma do nauki matematyki Compass, która sama przypomina opanowane tematy, zanim zaczną się zacierać.

Tablice trygonometryczne w praktyce – zadania z rozwiązaniami

Cztery krótkie zadania pokazują wszystkie typowe zastosowania tabeli wartości sin, cos, tg i ctg.

Zadanie 1. Długość boku z kąta. Drabina o długości 5 m opiera się o ścianę i tworzy z podłożem kąt 70°. Na jakiej wysokości dotyka ściany?

Wysokość leży naprzeciw kąta 70°, a drabina jest przeciwprostokątną, więc używamy sinusa. h = 5 · sin 70° ≈ 5 · 0,9397 ≈ 4,70 m.

Zadanie 2. Kąt z długości boków. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 5 i 12. Wyznacz miarę mniejszego kąta ostrego.

Mniejszy kąt leży naprzeciw krótszego boku: tg α = 5/12 ≈ 0,4167. W kolumnie tg α najbliżej jest 0,4245 dla 23°, więc α ≈ 23°. Drugi kąt ostry ma około 67°.

Zadanie 3. Pozostałe funkcje z jednej wartości. Kąt α jest ostry i sin α = 3/5. Oblicz cos α i tg α.

Z jedynki trygonometrycznej: cos² α = 1 − 9/25 = 16/25. Kąt jest ostry, więc cos α = 4/5, a tg α = (3/5) : (4/5) = 3/4. Tablice potwierdzają wynik: sin 37° ≈ 0,6018, czyli α ≈ 37°.

Zadanie 4. Wartości dokładne i kąt rozwarty. Oblicz 2 · sin 30° + tg 45° − cos 120°.

Podstawiamy: 2 · 1/2 + 1 − (−1/2) = 1 + 1 + 1/2 = 2,5. Wartość cos 120° = −cos 60° wynika ze wzoru redukcyjnego.

Więcej zadań tego typu, sprawdzanych krok po kroku, znajdziesz w temacie rozwiązywanie trójkątów prostokątnych na platformie Compass.

Tablice trygonometryczne na maturze z matematyki

Na maturze nie musisz znać na pamięć całej tablicy. Zdający dostaje publikację CKE „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki”, a w niej tablicę przybliżonych wartości sinusa, cosinusa i tangensa z czterema miejscami po przecinku. Sinus i cosinus mają tam wspólną kolumnę, a kąty α i β zapisano po obu stronach tabeli (opis tablic w Zintegrowanej Platformie Edukacyjnej).

Na egzaminie obowiązuje kalkulator prosty, który nie liczy funkcji trygonometrycznych. Umiejętność szybkiego czytania tablic daje więc realne punkty. Listę dozwolonych przyborów warto co roku sprawdzić w aktualnym komunikacie dyrektora CKE.

Wartości dokładne dla 30°, 45° i 60° dobrze jest mimo to znać na pamięć, bo oszczędzają czas. Trygonometrię w układzie zgodnym z wymaganiami egzaminu przećwiczysz na ścieżce matura podstawowa z matematyki w Compass, opartym na zadaniach z arkuszy CKE.

Najczęstsze błędy przy korzystaniu z tablic

• Pomylone kolumny. Uczeń odczytuje cosinus zamiast sinusa, szczególnie w tablicach ze wspólną kolumną dla obu funkcji.
• Zamienione przyprostokątne. O tym, który bok jest „naprzeciw”, decyduje kąt, od którego liczysz, a nie położenie boku na rysunku.
• Zgubiony znak. Cosinus i tangens kąta rozwartego są ujemne, a sinus pozostaje dodatni.
• Zbyt wczesne zaokrąglenie. Zaokrąglaj dopiero wynik końcowy, inaczej błąd rośnie z każdym działaniem.
• Tangens 90°. Ta wartość nie istnieje, więc nie wpisuj w jej miejsce zera.
• Zły tryb kalkulatora. Stopnie i radiany dają różne wyniki dla tej samej liczby.

Najczęściej zadawane pytania o tablice trygonometryczne

Ile wynosi sin 30°, cos 60° i tg 45°?

sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, a tg 45° = 1. Sinus 30° i cosinus 60° są równe, bo te kąty dopełniają się do 90°.

Dlaczego tg 90° i ctg 0° nie istnieją?

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus, a cos 90° = 0. Dzielenie przez zero nie jest wykonalne, więc tg 90° nie ma wartości. Z tego samego powodu nie istnieje ctg 0°, bo sin 0° = 0.

Jak obliczyć cotangens, gdy w tablicach jest tylko tangens?

Skorzystaj z jednego z dwóch wzorów: ctg α = 1 / tg α albo ctg α = tg (90° − α). Na przykład ctg 25° = tg 65° ≈ 2,1445.

Czym różnią się wartości dokładne od przybliżonych?

Wartość dokładna zawiera ułamek lub pierwiastek, na przykład sin 60° = √3/2. Wartość przybliżona to jej rozwinięcie dziesiętne po zaokrągleniu, czyli 0,8660. W zadaniach „oblicz” podawaj wynik dokładny, a w zadaniach praktycznych przybliżony.

Jak znaleźć wartość funkcji dla kąta, którego nie ma w tabeli?

Dla kąta powyżej 90° użyj wzoru redukcyjnego i sprowadź go do kąta ostrego. Dla kąta z ułamkiem stopnia, na przykład 37,5°, weź wartość pośrednią między sąsiednimi wierszami albo użyj kalkulatora naukowego.

Które wartości funkcji trygonometrycznych trzeba znać na pamięć?

Wystarczą wartości dokładne dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°. Resztę odczytasz z tablic lub wyprowadzisz ze wzorów redukcyjnych.

Podsumowanie

Tablice trygonometryczne zbierają w jednym miejscu wartości sin, cos, tg i ctg, a do sprawnego korzystania z nich wystarczą cztery umiejętności. Znasz wartości dokładne dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°. Czytasz tabelę w obu kierunkach. Sprowadzasz kąt rozwarty do ostrego wzorem redukcyjnym. Pilnujesz znaku i kolumny.

Jeśli trygonometria wciąż sprawia Ci trudność, przyczyna często leży wcześniej: w twierdzeniu Pitagorasa, działaniach na pierwiastkach albo proporcjach. Compass Matematyka to adaptacyjna platforma dla uczniów od 4 klasy do matury podstawowej, która wyszukuje takie luki i układa z nich indywidualną ścieżkę nauki. Materiał rozpisał zespół z Wydziału Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej we współpracy z nauczycielami.

Na początek wystarczy bezpłatna diagnoza z matematyki: 35 pytań z materiału Twojej klasy pokaże, co już umiesz i od czego zacząć. Pierwsze 7 dni nauki jest za darmo.